K-Theorie und die Hopf Invariante

Vorlesung über K-Theorie und die Hopf-Invariante

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) \(\mathbb{R}\)-Algebra \(A\) mit Einselement heißt reelle Divisionsalgebra, wenn jedes Element \(a \neq 0\) in \(A\) invertierbar ist. Beispiele für Divisionsalgebren sind \(\mathbb{R}\) selbst, die komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\), die Quaternionen \(\mathbb{H}\) und die Cayley-Zahlen \(\mathbb{O}\). In dieser Vorlesung soll der folgende Satz bewiesen werden: Hat \(\mathbb{R}^n\) die Struktur einer reellen Divisionsalgebra, dann ist \(n \in \{1,2,4,8\}\). Hieraus folgt, dass die oben gegebenen Beispiele tatsächlich die einzigen Divisionsalgebrenstrukturen auf \(\mathbb{R}^n\) sind.

Trotz der rein algebraischen Natur des Satzes, fußt der Beweis, der 1960 von John Frank Adams gefunden wurde, auf Ergebnissen aus der algebraischen Topologie. Insbesondere benutzt er topologische K-Theorie, eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, deren Elemente durch Vektorbündel über topologischen Räumen repräsentiert werden. Diese Theorie ist im Laufe der Zeit immer weiter verallgemeinert worden, z.B. zur K-Theorie von Ringen oder von Operatoralgebren und spielt eine fundamentale Rolle in der algebraischen Topologie. Im ersten Teil der Vorlesung werden wir daher Grundlagen über Vektorbündel wiederholen und K-Theorie ausführlich diskutieren.

Im zweiten - etwas kürzeren - Teil der Vorlesung werden wir dann die Hopf-Invariante besprechen. Hierbei handelt es sich um eine Homotopieinvariante, die jeder Abbildung \(f \colon S^{2n-1} \to S^n\) eine ganze Zahl zuordnet. Sie wurde 1931 von Heinz Hopf benutzt, um zu zeigen, dass es Abbildungen \(S^3 \to S^2\) gibt, die nicht nullhomotop sind und spielt eine entscheidende Rolle in Adams’ Beweis. Mit dessen Diskussion soll diese Veranstaltung abgeschlossen werden. Die Veranstaltung baut lediglich auf dem Stoff der Vorlesung Topologie 1 auf.

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skript

  1. Überblick und Kohomologietheorien
  2. Vektorbündel
  3. Topologische K-Theorie
    1. Kettenkomplexe von Vektorbündeln und Produkte in K-Theorie
    2. Bott-Periodizität - eine Beweisskizze
  4. Die Hopf-Invariante

skript (von Jannes Bantje)

übungen und lösungen

  1. Liste mit Aufgaben
  2. Lokale Trivialität von TSn (Lösung zu Aufg. 1)
  3. Stabile Trivialisierbarkeit (Lösung zu Aufg. 6 / Lemma 3.8)
  4. Verkleben von Vektorbündeln (Lösung zu Aufg. 7 / Lemma 3.7)
  5. \(GL_n(\mathbb{C})\) ist wegzusammenhängend (Lösung zu Aufg. 8)
  6. Produkt in K-Theorie graduiert kommutativ

literatur